Formelsammlung Geometrie

Die Formelsammlung zur euklidischen Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Bezeichner und Schreibweisen

In den allermeisten Fällen gilt:

1. Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben ${\displaystyle (A,B,C,\ldots )}$ beschriftet.
2. Linien wie Geraden, Strecken und Bögen werden mit lateinischen Kleinbuchstaben ${\displaystyle (a,b,c,\ldots )}$ beschriftet.
3. Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots )}$ beschriftet.

Im Folgenden werden Winkel im Gradmaß angegeben.

Geometrie in der Ebene

Grundlagen

Winkel

Teilung einer Strecke

Verhältnisteilung: Um eine Strecke ${\displaystyle AB}$ in einem bestimmten Verhältnis (in ${\displaystyle n}$ gleiche Teile) zu teilen, zeichnet man zunächst einen beliebigen Strahl von ${\displaystyle A}$ aus, der nicht parallel zu ${\displaystyle AB}$ ist. Auf diesem trage man ${\displaystyle n}$ mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt ${\displaystyle C}$ verbinde man mit ${\displaystyle B}$ und zeichne die Parallelen zu ${\displaystyle BC}$ durch die bei der Unterteilung von ${\displaystyle AC}$ entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit ${\displaystyle AB}$ teilen ${\displaystyle AB}$ in ${\displaystyle n}$ gleiche Teile.

Flächen und Umfänge

Die Standardbezeichnung für Dreiecke:

Eckpunkte

${\displaystyle A,B}$ und ${\displaystyle C}$. Die Ecke ${\displaystyle C}$ ist beim gleichschenkligen Dreieck der Treffpunkt der gleichen Seiten und beim rechtwinkligen Dreieck der Scheitel des rechten Winkels.

Seiten

${\displaystyle a}$ ist die der Ecke ${\displaystyle A}$ gegenüberliegende Seite, entsprechendes gilt für ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$. Beim gleichseitigen Dreieck werden alle Seiten mit ${\displaystyle a}$ bezeichnet.

Winkel

${\displaystyle \alpha }$ ist der (Innen-)Winkel in Ecke ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \beta }$ der Winkel in Ecke ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle \gamma }$ der Winkel in Ecke ${\displaystyle C}$.

Dreiecksgeometrie

Ausgezeichnete Punkte

• Seitenhalbierende (Schwerlinien)
  • teilen einander im Verhältnis 2:1.
  • schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks.
  • teilen die Dreiecksfläche in je zwei gleich große Teilflächen.

• Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Mittennormalen) = Mittelpunkt des Umkreises.

• Schnittpunkt der Winkelhalbierenden = Mittelpunkt des Inkreises.

• Höhenlinien
  • schneiden einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks.
  • Die Höhe h_c ist der Normalabstand des Punktes C zur Seite c (rechter Winkel bei D).

Satzgruppe des Pythagoras

• Satz des Pythagoras

  Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten.
  Sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die Längen der Katheten und ${\displaystyle c}$ die Länge der Hypotenuse, dann gilt:

  ${\displaystyle a^{2} b^{2}=c^{2}\,}$

• Kathetensatz

  Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse.
  Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:

  ${\displaystyle a^{2}=p\cdot c,\ b^{2}=q\cdot c}$

• Höhensatz

  Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.
  Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:

  ${\displaystyle h^{2}=q\cdot p}$

Dreiecksungleichung

Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets größer als die dritte Seite.

Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

1. drei Seiten (sss)
2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
4. einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
4. zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze

1. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
2. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte auf jeweils demselben Strahl.

Geometrie der Körper

siehe auch: Eulerscher Polyedersatz, Prinzip von Cavalieri

Trigonometrie

siehe: Trigonometrie, Formelsammlung Trigonometrie

Analytische Geometrie

siehe: Analytische Geometrie, Formelsammlung analytische Geometrie

Literatur

• Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel. 11. überarb. Auflage. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1913-0. 

Einzelnachweise